Conoce las coordenadas polares
En otros ejercicios del blog hemos visto como es necesaria una pareja de coordenadas para definir la ubicación de un punto: una X y una Y en las coordenadas cartesianas; una latitud y una longitud en las coordenadas geográficas.
Además de estos dos tipos de coordenadas, existe un tercero, denominado coordenadas polares. Para definir un punto mediante este sistema lo que necesitamos es un acimut (ángulo) y una distancia. El acimut (el símbolo Ө señalado en rojo en la siguiente imagen) es el ángulo existente entre la vertical (0g) y la línea que une las dos cruces verdes; y la distancia es la línea azul entre las dos cruces.
A través de esos dos parámetros, podremos calcular la posición X e Y de cualquier punto. Además, la relación también se da a la inversa, ya que conociendo la X y la Y de dos puntos, seremos capaces de obtener el ángulo y la distancia entre ambos. Las fórmulas que permiten estas transformaciones son las siguientes:
Probablemente no entiendas estas fórmulas. No pasa nada, es normal. Antes de explicártelas, tengo que enseñarte algo más.
Como habrás visto en matemáticas, la esfera tiene 360º, un ángulo recto tiene 90º, etc. Este sistema se conoce como sexagesimal. Sin embargo, en topografía la esfera tiene 400g, un ángulo recto tiene 100g, etc. Esto se conoce como sistema centesimal. Puedes ver las diferencias entre ambos sistemas en la siguiente imagen:
Para pasar de unos ángulos a otros basta con efectuar reglas de 3. Por ejemplo, ¿cuántos grados centesimales son 45º?:
Si 45º ------- 360º
Entonces X g ------- 400g
Despejando obtenemos que X g = (400 x 45) / 360 = 50g. Por lo que 45º son 50g.
La equivalencia en grados es la siguiente:
Además de estos dos tipos de coordenadas, existe un tercero, denominado coordenadas polares. Para definir un punto mediante este sistema lo que necesitamos es un acimut (ángulo) y una distancia. El acimut (el símbolo Ө señalado en rojo en la siguiente imagen) es el ángulo existente entre la vertical (0g) y la línea que une las dos cruces verdes; y la distancia es la línea azul entre las dos cruces.
Probablemente no entiendas estas fórmulas. No pasa nada, es normal. Antes de explicártelas, tengo que enseñarte algo más.
Como habrás visto en matemáticas, la esfera tiene 360º, un ángulo recto tiene 90º, etc. Este sistema se conoce como sexagesimal. Sin embargo, en topografía la esfera tiene 400g, un ángulo recto tiene 100g, etc. Esto se conoce como sistema centesimal. Puedes ver las diferencias entre ambos sistemas en la siguiente imagen:
Si 45º ------- 360º
Entonces X g ------- 400g
Despejando obtenemos que X g = (400 x 45) / 360 = 50g. Por lo que 45º son 50g.
La equivalencia en grados es la siguiente:
- 0º / 360º equivalen a 0g / 400g.
- 90º equivalen a 100g.
- 180º equivalen a 200g.
- 270º equivalen a 300g.
- 45º equivalen a 50g.
- Etc. Puedes calcular todas las reglas de 3 que necesites para obtener las equivalencias.
Ahora os voy a explicar el paso de coordenadas cartesianas a polares para que podáis realizar los dos juegos.
Con estos ejemplos, espero que estés preparado para realizar los dos juegos. La idea de ambos juegos es introducir los parámetros sin usar la calculadora, pero si ves que no te sale la puedes utilizar.
El funcionamiento es similar en los dos: calcular la distancia y el acimut. Las coordenadas del barco central y del punto verde son (0,0) para facilitaros los cálculos. ¡¡¡Mucha suerte!!!
- Para calcular las distancias, tienes que calcular el ΔX y el ΔY. El ΔX es la diferencia de X entre dos puntos y el ΔY es la diferencia de Y entre dos puntos. Para facilitar los cálculos, en los dos juegos uno de los puntos tiene coordenadas (0,0). De esta forma, ΔX es igual a la X del segundo punto, y ΔY es igual a la Y del segundo punto. Por lo tanto, para calcular la distancia tendrás que realizar la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas X e Y (observa las fórmulas de la segunda imagen de la entrada).
- Para calcular el acimut (ángulo Ө) tendrás primero que saber en qué sistema lo quieres calcular, si en sexagesimal o centesimal (los juegos están en centesimal para que te familiarices con la topografía). Por lo tanto, tendrás que poner tu calculadora en GRA. Posteriormente, calcula la fórmula de la arcotangente, con los incrementos ΔX y ΔY que has calculado antes. En función del cuadrante al que pertenezca el punto, tendrás que hacer las siguientes rectificaciones:
- Si el ángulo está en el primer cuadrante (0g hasta 100g) la X y la Y son positivas. El ángulo que obtengas será directo, por lo que no tienes que rectificar nada.
- Si el ángulo está en el segundo cuadrante (100g hasta 200g) la X es positiva y la Y es negativa. Al ángulo que obtengas le tendrás que sumar 200g.
- Si el ángulo está en el tercer cuadrante (200g hasta 300g) la X y la Y son negativas. Al ángulo que obtengas le tendrás que sumar también 200g.
- Por último, si el ángulo está en el cuarto cuadrante (300g hasta 400g) la X es negativa y la Y es positiva. Al ángulo que obtengas le tendrás que sumar 400g.
- Ejemplo en el primer cuadrante. Está en el primer cuadrante porque la X y la Y son positivas, por lo que no habrá que rectificar el acimut. Como las coordenadas del barco central son (0,0), ΔX=131 e ΔY=144. Aplicando las fórmulas, obtenemos que el acimut es 46,99g y la distancia es 194,67m.
- Ejemplo en el segundo cuadrante. Está en el segundo cuadrante porque la X es positiva y la Y negativa. Habrá que rectificar el acimut sumando 200g. Como las coordenadas del barco central son (0,0), ΔX=173 e ΔY=-75. Aplicando las fórmulas, obtenemos que el acimut es 126,04g y la distancia es 188,56m.
- Ejemplo en el tercer cuadrante. Está en el tercer cuadrante porque la X y la Y son negativas. Habrá que rectificar el acimut sumando 200g. Como las coordenadas del barco central son (0,0), ΔX=-88 e ΔY=-56. Aplicando las fórmulas, obtenemos que el acimut es 263,92g y la distancia es 104,31m.
- Ejemplo en el cuarto cuadrante. Está en el cuarto cuadrante porque la X es negativa y la Y positiva. Habrá que rectificar el acimut sumando 400g. Como las coordenadas del barco central son (0,0), ΔX=-107 e ΔY=103. Aplicando las fórmulas, obtenemos que el acimut es 348,79g y la distancia es 148,52m.
Con estos ejemplos, espero que estés preparado para realizar los dos juegos. La idea de ambos juegos es introducir los parámetros sin usar la calculadora, pero si ves que no te sale la puedes utilizar.
El funcionamiento es similar en los dos: calcular la distancia y el acimut. Las coordenadas del barco central y del punto verde son (0,0) para facilitaros los cálculos. ¡¡¡Mucha suerte!!!
PRIMER JUEGO:
Pulsa la bandera verde y comienza el juego.
El objetivo del barco pirata que está en el centro de la imagen es interceptar a todos los botes que pasen a su alrededor, utilizando cañones. Tú eres el encargado de introducir los parámetros de acimut y distancia necesarios para dar alcance al bote. ¿Estás preparado? Adelante...
* Pista: las coordenadas del barco central son (0,0) y las del bote se muestran en la esquina superior izquierda del juego.
SEGUNDO JUEGO:
Pulsa la bandera verde y comienza el juego.
El objetivo de este juego es conseguir el mayor número de puntos apuntando a la diana, siendo 150 la máxima puntuación. Para ello deberás introducir el acimut y la distancia que hay desde el punto central (0,0) a la diana. Fíjate en los ejes cartesianos de fondo para calcular los parámetros.
Tienes 3 intentos y según la zona de la diana a la que des con el punto verde, obtendrás una puntuación distinta: la zona azul vale 10 puntos, la zona amarilla vale 25 y la zona roja vale 50. ¡Mucha suerte!
El objetivo de este juego es conseguir el mayor número de puntos apuntando a la diana, siendo 150 la máxima puntuación. Para ello deberás introducir el acimut y la distancia que hay desde el punto central (0,0) a la diana. Fíjate en los ejes cartesianos de fondo para calcular los parámetros.
Tienes 3 intentos y según la zona de la diana a la que des con el punto verde, obtendrás una puntuación distinta: la zona azul vale 10 puntos, la zona amarilla vale 25 y la zona roja vale 50. ¡Mucha suerte!
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